证明极限不存在

【www.hywsbj.com--三会一课】

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..

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是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线 y=2x

y=-2x 趋于(0,0)时

极限分别为 -3 和 -1/3 不相等

极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等

所以极限不存在

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lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)

=1-lim8 / [(x/y)^2+3]

因为不知道x、y的大校

所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

极限不存在

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如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。

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